Question

2．如图，△ABC是一块直角三角形材料，∠BAC=90°，BC=100cm，AB=80cm，要把它加工成矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）请求出sinB的值；
（2）当顶点E位于AB上何处时，这个矩形零件的面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得AC的长度，然后利用锐角三函数的定义求出sinB的值；
（2）根据题意得出△AEF∽△ABC，进而表示出AE的长，再利用二次函数最值求法得出答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，BC=100cm，AB=80cm，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-8{0}^{2}}$=60（cm），
∴sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，即sinB的值是$\frac{3}{5}$；

（2）如图，过点A作BC边上的高线AM，交EF于点N．
由$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$BC•AM得到：AM=$\frac{80×60}{100}$=48（cm）
∵由题意知，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{AN}{48}$=$\frac{EF}{100}$，
∴EF=$\frac{25}{12}$AN，
∴S_矩形EFHG=EF•NM=$\frac{25}{12}$AN•（48-AN）=-100AN-$\frac{25}{12}$AN²=-$\frac{25}{12}$（AN-24）²+1200．
当AN=24时，这个矩形零件的面积最大，最大值是1200cm²．
由$\frac{AN}{AE}$=$\frac{3}{5}$得到：AE=$\frac{5}{3}$AN=40（cm）．
∴当点E是AB的中点时，这个矩形零件的面积最大，最大值是1200cm²．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的应用以及二次函数的最值问题，根据题意表示出AE的长是解题关键．