Question

18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当AB=AC时，求证：AD=DE；
（2）如图②，若D运动到BC边的延长线上，且AB=k•AC，AE=m，求线段AD的长（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE=90°，由于DE⊥AD，于是得到∠ADE=90°，推出点A，B，E，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠AED=∠ABC，证得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{AD}$，求出$\frac{DE}{AD}=k$，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD=180°-∠C=135°，
∵∠BFD=45°，DF⊥BC，
∴∠BFD=45°，BD=DF，
∴∠AFD=135°，
∴∠EBD=∠AFD，
在△BDE和△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠AFD}\\{BD=DF}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD=DE；

（2）解：∵MN∥AC，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴∠ABE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴点A，B，E，D四点共圆，
∴∠AED=∠ABC，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{AD}$，
∵AB=k•AC，
∴$\frac{DE}{AD}=k$，
∴DE=k•AD，
∵AD²+DE²=AE²，
即AD²+（k•AD）²=m²，
∴AD=$\frac{m\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握各定理是解题关键．