Question

3．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切．
（1）求证：AD+BC=CD；
（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin∠DCF．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥CD于H，如图，根据切线的性质得到点H为切点，再证明AD和BC都与⊙O相切，则根据切线长定理得到DA=DH，CB=CH，于是有AD+BC=DH+CH=CD；
（2）先判断△AEF为等腰直角三角形得到∠F=45°，再判断△OBC为等腰直角三角形得BE=BC，作DG⊥BC于G，如图，易得四边形ABGD为矩形，则设AE=AF=x，AD=y，所以BE=BC=3x，CD=y+3x，DG=4x，CG=CB-BG=3x-y，接着在Rt△DGC中利用勾股定理可计算出y=$\frac{4}{3}$x，则CD=$\frac{13}{3}$x，DF=$\frac{7}{3}$x；作DK⊥CF于K，如图，则△KDF为等腰直角三角形，于是DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x，然后在Rt△CDK中根据正弦的定义求解．

解答 （1）证明：作OH⊥CD于H，如图，
∵以AB为直径作⊙O与CD相切，
∴点H为切点，
∵∠ABC=90°，AD∥BC，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD和BC都与⊙O相切，
∴DA=DH，CB=CH，
∴AD+BC=DH+CH=CD；
（2）解：∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠F=45°，
∵AF∥BC，
∴∠FCB=45°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BE=BC，
作DG⊥BC于G，如图，易得四边形ABGD为矩形，
设AE=AF=x，AD=y，则BE=BC=3x，
∴CD=y+3x，DG=4x，CG=CB-BG=3x-y，
在Rt△DGC中，∵DG²+CG²=CD²，
∴（4x）²+（3x-y）²=（y+3x）²，
∴y=$\frac{4}{3}$x，
∴CD=$\frac{4}{3}$x+3x=$\frac{13}{3}$x，DF=x+$\frac{4}{3}$x=$\frac{7}{3}$x，
作DK⊥CF于K，如图，则△KDF为等腰直角三角形，
∴DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x，
在Rt△CDK中，sin∠DCK=$\frac{DK}{DC}$=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{6}x}{\frac{13}{3}x}$=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$，
即sin∠DCF=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了梯形的性质、等腰直角三角形的性质．