Question

10．如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为（$\frac{5}{2}$，0），对角线OB=$2\sqrt{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）经过点C．则k的值为3．

Answer 1

分析 根据菱形的性质可知菱形的四条边都相等，点A的坐标为（$\frac{5}{2}$，0），对角线OB=$2\sqrt{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）经过点C，可设点C的坐标为（a，b），从而可以表示出点B的坐标，然后列出相应的方程组，即可得a、b的值，从而可以得到k的值．

解答 解：∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO，
设点C的坐标为（a，b），
∵点A的坐标为（$\frac{5}{2}$，0），对角线OB=$2\sqrt{5}$，
∴点B的坐标为（a+$\frac{5}{2}$，b），OC=$\frac{5}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=（\frac{5}{2}）^{2}}\\{（a+\frac{5}{2}）^{2}+{b}^{2}=（2\sqrt{5}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=2，
∴ab=$\frac{3}{2}×2=3$，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）经过点C，点C的坐标为（a，b），
∴b=$\frac{k}{a}$，
∴k=ab=3．
故答案为：3．

点评 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题的关键是根据数形结合的思想找到各边之间的关系，k与点C的坐标的关系．