Question

28、如图1，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想；
（3）将正方形ABCD，绕点D逆时针旋转一定的角度（小于90度），如图2，请猜想AE与CG之间的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）AD=CD，ED=GD，∠ADE=∠GDC=90°根据SAS可证△EAD≌△GCD，进而AE=CG．
（2）延长EA交CG于H，由（1）可得∠CGD+∠GAH=90°，即AE⊥CG．
（3）CD=AD，GD=ED，∠ADE=90+∠GDA=∠CDG，可证△EAD≌△GCD，于是可得AE=CG，垂直的证明可参看（2）．

解答：
解：（1）由题意得AD=CD，ED=GD，∠ADE=∠GDC=90°
∴根据SAS可证△EAD≌△GCD；

（2）猜想：AE⊥CG；
延长EA交CG于H，由（1）得∠CGD+∠GAH=∠CGD+∠EAD=∠CGD+∠GCD=90°
∴AE⊥CG；

（3）猜想：AE=CG；AE⊥CG．
由题意得CD=AD，GD=ED，∠ADE=90+∠GDA=∠CDG
∴△EAD≌△GCD
∴AE=CG，∠CGD=∠AED
∵∠AED+∠EOD=90°，
∴∠CGD+∠EOD=90°，
∵∠EOD=∠GOH，
∴∠CGO+∠GOH=∠CGO+∠EOD=∠AED+∠EOD=90°，
∴AE⊥CG．

点评：本题关键在于找三角形全等的条件，注意运用自己已证明的结论．