Question

如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE、AD相交于点G，下列4个结论：①DF∥GE；②DF：BG=2：3；③AG=GD；④S_△BGD=S_{四边形EFDG}；其中正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据三角形中位线的定义以及性质定理、平行线分线段成比例定理进行证明．

解答：解：如右图所示，
①∵AD是△ABC中线，
∴D是BC中点，
∵EF=FC，
∴F是CE中点，
∴DF是△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
即DF∥GE，
故此选项正确；
②由①得DF∥GE，
又∵AE=EF，
∴AE：EF=AG：DG，
∴AG=DG，
∴EG是△ADF的中位线，
∴

1

2

DF=GE，
由①知DF是△CBE的中位线，
∴DF=

1

2

BE，
∴BG=

3

2

DF，
∴DF：BG=2：3，
此选项正确；
③由②知AG=DG，
此选项正确；
④连接GF，设BE、DF之间的距离是h，
根据题意，得
S_△BDG=

1

2

BG•h，S_{四边形EFDG}=S_△DFG+S_△EGF=

1

2

DF•h+

1

2

EG•h，
又∵DF：BG=2：3，

1

2

DF=GE，
∴S_△BDG=

3

4

DF•h，S_{四边形EFDG}=

3

4

DF•h，
∴S_△BDG=S_{四边形EFDG}，
此选项正确．
故选D．

点评：本题考查了三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理．解题的关键是证明DF是△CBE的中位线，EG是△ADF的中位线．