Question

17．如图，在正方形ABDC中，把一个45°角的顶点放在D点，将这个45°角绕着D旋转，其两边与线段AB、BC分别交于E、F（EF与AB不重合）．
（1）自己画几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长．猜想：AE、EF、FC之间的数量关系：EF=AE+FC；
（2）证明上述结论．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知图形结合各线段度量得出答案；
（2）延长BC至E′′，使CE′=AE，连接DE′，利用旋转法证明△ADE≌△CDE′，根据已知证明∠FDE′=∠EDF=45°，可证△DEF≌△DE′F，再根据全等三角形的性质可得EF=AE+FC；

解答 （1）解：猜想AE、EF、FC之间的数量关系：EF=AE+FC．
故答案为：EF=AE+FC；

（2）证明：如图所示：连接EF，延长BC至E′′，使CE′=AE，连接DE′，
在△ADE和△CDE′中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCE′}\\{AE=CE′}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE′（SAS），
∴DE=DE′，∠ADE=∠CDE′，
∠FDE′=∠FDC+∠CDE′=∠FDC+∠ADE=90°-∠EDF=45°，
在△DEF和△DE′F中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE′}\\{∠EDF=∠FDE′}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△DEF≌△DE′F（SAS），
∴EF=E′F=CE′+FC=AE+FC．

点评 本题考查了旋转法在证题中的运用以及全等三角形的判定与性质，关键是通过旋转，将已知线段转换位置．