题目内容

如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B点的坐标是（2，5），抛物线y=ax2随顶点P沿折线O-C-B-A运动．抛物线的顶点P与点C重合时，抛物线恰好经过点A．
（1）求a的值；
（2）当抛物线的顶点落在BC边上时，抛物线与OC、AB的交点分别是点M、N，连结MN；
①若抛物线的顶点P恰好在BC的中点时，求tan∠PMN的值；
②若∠MPN=90°时，求此时P点的坐标．

【答案】分析：（1）根据四边形OABC可以得到A的坐标是（2，0），设抛物线的函数关系式为y=ax2+5，把A的坐标代入即可求得a的值；
（2）①抛物线的顶点P恰好在BC的中点，所以点P坐标为（1，5），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，则与OC，AB的交点即可求得，然后利用三角函数的定义即可求解；
②把x=0，x=2别代入y=-（x-t）2+5即可求得抛物线与OC，AB的交点坐标，易证明△PCM∽△NBP，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得t的值，则P的坐标可以得到．
解答：解（1）当抛物线的顶点P与C重合时，设抛物线的函数关系式为y=ax2+5，
将A（2，0）代入y=ax2+5，得a=-；

（2）设P（t，5），此时抛物线的关系式可设为y=-（x-t）2+5，
①抛物线的顶点P恰好在BC的中点，所以点P坐标为（1，5），
∴y=-（x-1）2+5，
∴抛物线与OC交于M（0，），与AB交于N（2，）
∴CM=，PC=1     
由抛物线的对称性，得 MN∥BC∴∠PMN=∠CPM
∴tan∠PMN=tan∠CPM== 
②∵抛物线与OC，AB的交点为M、N
∴把x=0，x=2别代入y=-（x-t）2+5，得
M（0，5-t2），N （2，5-（2-t）2）
∴CM=t2，BN=（2-t）2 
由∠PMN=90°，证明△PCM∽△NBP  
∴=
∴=
∴t1=，t2=    
∴P1（，5）或P2（，5）．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得函数的解析式是关键．
练习册系列答案
相关题目
21、如图在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（2，0），O（0，0），B（0，4）．
①△AOC与△AOB关于x轴成轴对称，则C点坐标为
（0，-4）
；
②将△AOB绕AB的中点D逆时针旋转90°得△EGF，则点A的对应点E的坐标为
（3，3）
；
③在图中画出△AOC和△EGF，△AOB与△EGF重叠的面积为
1
平方单位．
精英家教网如图在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，B两点，C为⊙A上一点，P是x轴上的一点，连接CP，将⊙A向上平移1个单位长度，⊙A与x轴交于M、N，与y轴相切于点G，且CP与⊙A相切于点C，∠CAP=60°．请你求出平移后MN和PO的长．
如图在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示点B在抛物线y=ax2+ax-2上．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°到达△AB′C′的位置，请写出点B′坐标
（1，-1）
（1，-1）
，点C′坐标
（2，1）
（2，1）
；判断点B′
在
在
，C′
在
在
（填“在”或“不”）在（2）中的抛物线上．
如图在平面直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为
BC
上的一个动点，CQ平分∠PCD交AP于Q，A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C点坐标；
（2）当点P在
BC
上运动时，线段AQ的长是否改变？若不变，请求出其长度；若改变，请说明理由．（提示：连接AC）．
（3）当点P在
BC
上运动时，是否存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M？若存在请直接写出点P的坐标．
如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网