Question

如图在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，B两点，C为⊙A上一点，P是x轴上的一点，连接CP，将⊙A向上平移1个单位长度，⊙A与x轴交于M、N，与y轴相切于点G，且CP与⊙A相切于点C，∠CAP=60°．请你求出平移后MN和PO的长．

Answer 1

分析：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接AM，根据垂径定理得到HM=HN，在Rt△AMH中，利用勾股定理即可求出MH，于是得到MN；
（2）分两种情况讨论：满足要求的C有两个：C₁、C₂．当∠C₁AP₁=60°时，CP是⊙A切线，根据切线的性质得到∠AC₁P₁=90°，则AP₁=2AC₁=4，再在Rt△AP₁H中利用勾股定理计算出P₁H，则OP₁=P₁H-MH；同理可求出OP₂．

解答：解：如图，（1）连接OA，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接AM．
则HM=HN，
在Rt△AMH中，
∵AM=2，AH=1，
∴MH=

AM2-AH2

=

3

，
∴MN=2

3

；

（2）∵CP是⊙A切线，且∠CAP=60°
∴满足要求的C有两个：C₁、C₂
如图，∠C₁AP₁=60°或∠C₂AP₂=60°
当∠C₁AP₁=60°时，
∵CP是⊙A切线，
∴∠AC₁P₁=90°，AC₁=2，
∴AP₁=4，
在Rt△AP₁H中，AH=1，AP₁=4，
∴P1H=

15

，
∴OP1=

15

-2，
同理可求P2H=

15

，
∴OP2=

15

+2，
∴OP的长是

15

-2或

15

+2．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了垂径定理和勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．