题目内容
如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．分析：首先由A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），根据勾股定理，求得AB的长，又由C是线段AB的中点，求得BC的长，然后分别从①如图1，若△PNC∽△OBA与②如图2，若△PBC∽△ABO去分析求解即可求得答案．
解答：
解：存在这样的P点．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是线段AB的中点，
∴BC=5．
∵∠ABO是公共角，
①如图1，若△PBC∽△OBA，
则需PB：OB=BC：BA，
即
=
，
解得：PB=3，
∴P点的坐标为（0，3）；
②如图2，若△PBC∽△ABO，
∴PB：AB=BC：OB，
即
=
，
解得：PB=
，
∴OP=PB-OB=
，
∴P点的坐标为（0，-
）．
∴P（0，3）或（0，-
）．
解：存在这样的P点．理由如下：∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是线段AB的中点，
∴BC=5．
∵∠ABO是公共角，
①如图1，若△PBC∽△OBA，
则需PB：OB=BC：BA，
即
| PB |
| 6 |
| 5 |
| 10 |
解得：PB=3，
∴P点的坐标为（0，3）；
②如图2，若△PBC∽△ABO，
∴PB：AB=BC：OB，
即
| PB |
| 10 |
| 5 |
| 6 |
解得：PB=
| 25 |
| 3 |
∴OP=PB-OB=
| 7 |
| 3 |
∴P点的坐标为（0，-
| 7 |
| 3 |
∴P（0，3）或（0，-
| 7 |
| 3 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平面直角坐标系中点的坐标特征等知识．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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21、如图在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（2，0），O（0，0），B（0，4）．
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