Question

3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，I是△ABC的内心，AC=8，BC=6．
（1）求IC的长；
（2）若$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，求ID的长；
（3）求OI的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过I分别作IG⊥AB于G，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，由I是△ABC的内心，于是得到IG=IE=IF=⊙I的半径r，根据AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，连接AI，AD，BD，CD，推出CD是∠ACB的平分线，由于点I在线段CD上，根据圆周角定理得到∠4=∠5=∠3，求得∠6=∠1+∠4=∠2+∠3=∠DAI，推出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图1，由（1）知CE=IG=2，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过I分别作IG⊥AB于G，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，
∵I是△ABC的内心，
∴IG=IE=IF=⊙I的半径r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=S_△AIC+S_△AIB+S_△BIC=$\frac{1}{2}$AC•r+$\frac{1}{2}$AB•r+$\frac{1}{2}$BC•r=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）•r，
∴r=2，
∵∠ACB=∠CFI=∠CEI=90°，CF=CE，
∴四边形CFIE是正方形，
∴IC=$\sqrt{2}$r=2$\sqrt{2}$；

（2）如图2，连接AI，AD，BD，CD，则∠1=∠2，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，∠4=∠5=45°，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴点I在线段CD上，
∵∠1=∠2，∠4=∠5=∠3，
∴∠6=∠1+∠4=∠2+∠3=∠DAI，
∴AD=ID，
∵AB为⊙O的直径，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
即ID=5$\sqrt{2}$；

（3）如图1，由（1）知CE=IG=2，
∴BG=BE=AB-CE=6-2=4，
∵AB=10，
∴OB=5，
∴OG=5-4=1，
∴OI=$\sqrt{O{G}^{2}+I{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆，角平分线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，能求出CF=CE是解此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．