Question

8．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA₁C=1，tan∠BA₂C=$\frac{1}{3}$，tan∠BA₃C=$\frac{1}{7}$，计算tan∠BA₄C=$\frac{1}{13}$，…按此规律，写出tan∠BA_nC=$\frac{1}{{n}^{2}-n+1}$（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 作CH⊥BA₄于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A₄H，根据正切的概念求出tan∠BA₄C，总结规律解答．

解答 解：作CH⊥BA₄于H，
由勾股定理得，BA₄=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，A₄C=$\sqrt{10}$，
△BA₄C的面积=4-2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×CH=$\frac{1}{2}$，
解得，CH=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
则A₄H=$\sqrt{{A}_{4}{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{13\sqrt{17}}{17}$，
∴tan∠BA₄C=$\frac{CH}{{A}_{4}H}$=$\frac{1}{13}$，
1=1²-1+1，
3=2²-2+1，
7=3²-3+1，
∴tan∠BA_nC=$\frac{1}{{n}^{2}-n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{13}$；$\frac{1}{{n}^{2}-n+1}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．