Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF交对角线AC于点G，若BE=BF，∠DFE=2∠BAC，BC=2

3

cm，则△ABC的面积为

 

 cm²．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GAE=∠GCF，然后利用“角角边”证明△AEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，GE=GF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BG⊥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFE=∠BEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEF=∠BAC+∠AGE，然后求出∠BAC=∠AGE，根据等角对等边可得AE=GE，再求出CF=GF，然后利用“HL”证明Rt△BCF和Rt△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BG，然后利用勾股定理列式求出AB，最后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠GAE=∠GCF，
在△AEG和△CFG中，

∠GAE=∠GCF ∠AGE=∠CGF AE=CF

，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴AG=CG，GE=GF，
∵BE=BF，
∴BG⊥EF（等腰三角形三线合一），
∵AB∥CD，
∴∠DFE=∠BEF，
由三角形的外角性质得，∠BEF=∠BAC+∠AGE，
∵∠DFE=2∠BAC，
∴∠BAC=∠AGE，
∴AE=GE，
∵AE=CF，GE=GF，
∴CF=GF，
在Rt△BCF和Rt△BGF中，

BF=BF CF=GF

，
∴Rt△BCF≌Rt△BGF（HL），
∴BG=BC=2

3

cm，
∵AG=CG，∠ABC=90°，
∴AC=2BG=2×2

3

=4

3

cm，
在Rt△ABC中，AB=

AC2-BC2

=

(4 3 )2-(2 3 )2

=6cm，
所以△ABC的面积=

1

2

AB•BC=

1

2

×6×2

3

=6

3

cm²．
故答案为：6

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记各性质并最后求出AB的长是解题的关键．