Question

5．如图，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上且横坐标为3．
（1）求A、B、C、D的坐标；
（2）求∠BCD的度数；
（3）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用y=0以及x=0解方程得出答案；
（2）利用（1）中所求则OC=OB=4，故∠ABC=45°，进而得出CD∥AB得出答案；
（3）过点D作DE⊥BC于点E，进而求出BE，DE的长，进而得出答案．

解答 解：（1）令y=0，则-x²+3x+4=0，
即（x+1）（x-4）=0．
解得：x₁=-1，x₂=4．
所以A（-1，0），B（4，0），
令x=0，得y=4，所以C（0，4），
当x=3时，y=-3²+3×3+4=4，
所以D（3，4）；

（2）∵OC=OB=4，
∴∠ABC=45°，
∵C、D的纵坐标相同，
∴CD∥AB．
又∵OC=OB，
∴∠BCD=∠OBC=45°；

（3）过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△OBC中，得BC=4$\sqrt{2}$，
在Rt△CDE中，∵CD=3，
∴CE=ED=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及锐角三角函数、平行线的判定与性质等知识，正确利用数形结合求解是解题关键．