Question

20．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AC、AB分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为（1，1），AB=2，AC=3．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}（x＞0）$的图象经过点A，求m的值；
（3）若反比例函数y=$\frac{n}{x}（x＞0）$的图象与△ABC有公共点，请直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）把A点坐标代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0），求出m的值即可；
（3）根据反比例函数y=$\frac{n}{x}（x＞0）$的图象与△ABC有公共点可知，当反比例函数经过点A时有最小值，反比例函数与线段BC相切时时有最大值可得出n的取值范围．

解答 解：（1）∵Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AC、AB分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为（1，1），AB=2，AC=3，
∴B（1，3），C（4，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=3\\ 4k+b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{11}{3}\end{array}\right.$，
∴BC边所在直线的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$；

（2）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}（x＞0）$的图象经过点A（1，1），
∴m=1；

（3）∵反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象与△ABC有公共点，
∴当函数经过A（1，1）时，n=1；
当函数图象经过点C（4，1）时，n=4，
当反比例函数与线段BC相切时，设y=$\frac{n}{x}$过BC上一点（a，-$\frac{2}{3}$a+$\frac{11}{3}$），
则n=a（-$\frac{2}{3}$a+$\frac{11}{3}$）=-$\frac{2}{3}$（a-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{121}{24}$，
∴n_最大=$\frac{121}{24}$．
∴1≤n≤$\frac{121}{24}$．

点评 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．