Question

如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，连接ME、MD．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A=60°，试判定△MED的形状．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=

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BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME=60°，再根据等边三角形的判定方法解答．

解答：（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD=ME=

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BC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；

（2）解：∵MD=ME=BM=CM，
∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，
∴∠DME=60°，
∴△MED是等边三角形．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）求出∠DME=60°．