题目内容
【题目】如图，在
中，
，
，
，点
为
边上一点，且
．点
从点
出发．沿射线
以每秒1个单位长度的速度运动．以
、
为邻边作
．设和
重叠部分图形的面积为
（平方单位），点的运动时间为
（秒）
．
（1）连结
，求的长．
（2）当为菱形时，求的值．
（3）求与之间的函数关系式．
（4）将线段沿直线
翻折得到线段
．当点
落在的边上时，直接写出的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
或
．
【解析】
（1）如图（见解析），先根据勾股定理求出AB的长，再根据平行线的判定得出
，然后根据相似三角形的判定与性质可得
，从而可得
，
，最后在
中利用勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据菱形的性质得出
，
，再根据相似三角形的判定与性质可得
，求解即可得；
（3）先根据平行四边形的性质
，再找出两个临界位置：当点P运动至点F时和当点P运动至点A时，然后分别根据平行四边形、直角梯形的面积公式即可得；
（4）分①点
落在AB边上和②点落在BC边上两种情况，①先利用折叠的性质、等腰三角形的性质得出
，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出
，然后根据平行四边形的性质、平行线的性质、等量代换得出
，从而可得
，最后根据菱形的判定可得平行四边形CPDE是菱形，由（2）的结论即可得；②先根据折叠的性质得出
平分
，再根据角平分线的性质可得
，然后根据（1）得出
，从而可得
，最后根据
的面积公式列出等式求解即可．
（1）如图1，过点
作
于点
在
中，
，
在中，
；
（2）如图2，当平行四边形
为菱形时
由菱形的性质得：，
又
或
（不符题意，舍去）
故
的值为；
（3）
四边形CPDE是平行四边形
，即
由题意，有两个临界位置，即当点P运动至点F时，所需时间为
（秒）；当点P运动至点A时，所需时间为
（秒）
因此，分以下三种情况：
①如图3-1，当
时
②如图3-2，当
时，此时四边形CPDG为直角梯形，
③如图3-3，当
时，此时四边形CADG为直角梯形
综上，
与之间的函数关系式为
；
（4）由题意，分以下两种情况：
①如图4-1，点落在AB边上
延长CE交AB于点H
由折叠的性质可知，
，平分
（等腰三角形的三线合一）
，即
解得
在和
中，
四边形CPDE是平行四边形
平行四边形CPDE是菱形
由（2）可知，此时
②如图4-2，点落在BC边上
过点E作
于点N，延长DE交BC于点M，则
由折叠的性质可知，平分，则
由（1）可知，
解得
综上，所求的t的值为或．
