Question

【题目】如图，已知二次函数的图像过点,,与轴交于另一点,且对称轴是直线.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若是上的一点，作交于,当面积最大时，求的坐标；

（3）是轴上的点，过作轴，与抛物线交于,过作轴于.当以、、为顶点的三角形与、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【解析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；

（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=4t﹣tt，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设Q（m，m2﹣m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．

（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，

∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a82=4，解得a=，

∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y=x，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，

解方程组得，则N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=4t﹣tt

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；

（3）设Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴当=时，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；

∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；

综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．