Question

18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．已知E是AB的中点，F是BC的中点．
（1）分别写出点E、点F的坐标；
（2）过点E作ME⊥EF交x轴于点M，求点M的坐标；
（3）在线段OC上是否存在点G，使得以点G、E、F为点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点即可求出点E、点F的坐标；
（2）先利用相似三角形的性质求出△AEM∽△BFE，再由相似三角形的对应边成比例可求出AM的长，再根据OA=8即可求出OM的长，进而可求出M点的坐标；
（3）设G（0，n），过点P作GH⊥AB于点H，利用勾股定理可求出GF、GE、EF的长，再分GF=GE、GE=EF、GF=EF三种情况，列出方程求出n的值即可．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点，
∴E（8，3），F（4，6）；

（2）∵ME⊥EF，
∴∠BEF+∠AEM=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
又∵∠EAM=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，
∴$\frac{AM}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
即$\frac{AM}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴AM=$\frac{9}{4}$，
∴OM=OA-AM=8-$\frac{9}{4}$=$\frac{23}{4}$，
∴M（$\frac{23}{4}$，0）；（9分）

（3）如图，

设G（0，n），
过点G作GH⊥AB于点H，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²=4²+（6-n）²，
在Rt△EGH中，GE²=GH²+EH²=8²+（3-n）²，
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF²=25，
①当GE=GF时GE²=GF²，
即8²+（3-n）²=4²+（6-n）²，
解得n=-$\frac{7}{2}$（不合题意，舍去）；
②当GE=EF时GE²=EF²，
即8²+（3-n）²=25，此方程无解；
③当GF=EF时GF²=EF²，
即4²+（6-n）²=25，
解得n₁=3，n₂=9（不合题意，舍去），
综上，存在点G（0，3），此时△GEF是等腰三角形．

点评 此题考查四边形综合题，综合利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识解决问题．