题目内容

1．受中日钓鱼岛事件的影响，在钓鱼岛被“国有化”的9月份，某日本品牌食用油价格开始回落，食用油批发商批发这种品牌的食用油，每桶在9月份前四周每周的平均销售价格变化如下表：
周数x1234
价格y1（元/桶）60595857
进入10月份后，由于受中日关系趋于缓和等因素的影响，食用油的价格开始回升，该品牌食用油销售价格y2（元/桶）从10月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且销售价格y2（元/桶）与周数x（x为整数）的变化情况满足二次函数：y2=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出9月份y1与x的函数关系式；并求出10月份y2与x的函数关系式．
（2）若9月份该品牌的食用油进价m1（元/桶）与周数x满足函数关系为：m1=$\frac{1}{3}$x2-3x+50，10月份该品牌的食用油进价m2（元/桶）与周数x满足函数关系为：m2=$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$，试问在9月份和10月份中，哪月的哪一周销售一桶该品牌的食用油利润最大？最大利润是多少？
（3）在第（2）问的条件下，该批发商在10月份的第2周以该周的进价购入该品牌食用油1200桶，准备在10月份第3周进行销售．在第3周以该周的销售价销售了3a%后，为了加快销售的进度，该批发商决定在原销售价格的基础上降价a%进行销售，这样顺利的完成了第三周销售1200桶的任务，且获利12000元，请你参考以下数据，估算出a的整数值（0＜a＜15）．
（参考数据：912=8281，922=9464，932=8649，942=8836）

分析 （1）根据表格数据，可得出y1与x的函数关系式；将点（1，54），（2，57）代入，可得出y2与x的函数关系式；
（2）分别得出9月份、10月份的利润表达式，然后利用配方法求出最值，继而比较可得出答案；
（3）根据题意，令x=2求出m2，令x=3求出y2，然后列出方程，解出a的值即可，注意考虑实际情况进行取舍．

解答 解：（1）9月份：根据表格可得：y1=-x+61；
10月份：∵当x=1时，y=54；当x=2时，y=57，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c-\frac{1}{4}=54}\\{2b+c-1=57}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{15}{4}}\\{c=\frac{101}{2}}\end{array}\right.$，
∴y2=-$-\frac{1}{4}$x2+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$．
（2）设第x周的利润为w元，
9月份：w=y1-m1=（-x+61）-（ $\frac{1}{3}$x2-3x+50）=-$\frac{1}{3}$x2+2x+11=-$\frac{1}{3}$（x-3）2+14，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴开口向下，
又∵对称轴是：直线x=3，
∴当x=3时，w最大=14；
10月份：w=y2-m2=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$-（ $\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{4}$x=10=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{161}{16}$
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴开口向下，
又∵对称轴是：直线x=$\frac{1}{2}$，
∴当1≤x≤4时，w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w最大=10，
∵14＞10，
∴9月份的第3周，利润最大，最大利润为14元/桶．
（3）在m2=$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$中，令x=2，得：m2=$\frac{95}{2}$，
在y2=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$中，令x=3，得：y2=$\frac{119}{2}$，
∴$\frac{119}{2}$×1200•3a%+$\frac{119}{2}$（1-a%）•1200•（1-3a%）-$\frac{95}{2}$×1200=12000，
令a%=m，则357m+119（1-m）（1-3m）=115，
整理得：357m2-119m+4=0，
△=8449≈922，
m1≈$\frac{119+92}{714}$≈0.295，
则a1≈30（不合题意，舍去），
m2≈$\frac{119-92}{714}$≈0.037，
则a2≈4，
故a的整数值为4．

点评 本题考查了二次函数的应用，题目所给信息量比较大，注意仔细审题，得到解题需要的信息，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度较大．

练习册系列答案
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（2）$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ 2（{x+1}）≥3x-1.\end{array}\right.$．
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B．三角形的角平分线、高都在三角形的内部
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D．三角形的角平分线、中线都在三角形的内部
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