Question

8．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC．
（2）若PC=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB，根据等角对等边得AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，分别在Rt△AOB和Rt△ACP中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC得5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，求出r的值即可．

解答 证明：（1）连接OB，
∵OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°，
∴∠ABP=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△AOB中，AB²=OA²-OB²=5²-r²，
在Rt△ACP中，AC²=PC²-PA²，
AC²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
∵AB=AC，
∴5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
解得：r=3，
则⊙O的半径为3．

点评 本题考查了圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径；并利用勾股定理列等式，求圆的半径；此类题的一般做法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；简记作：见切点，连半径，见垂直．