Question

8．如图，已知AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，CE交⊙O于点D，且CD=OA．求证：∠C=$\frac{1}{3}$∠AOE．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，可得∠COD=∠C，∠CEO=∠ODE，根据三角形外角的性质，可得∠ODE=∠COD+∠C，∠AOE=∠C+∠CEO，根据等式的性质，可得答案．

解答 证明：如图：连接OD，

∵OD=OA，CD=OA
∴OD=CD，
∴∠COD=∠C．
∵∠ODE是△OCD的外角，
∴∠ODE=∠COD+∠C=2∠C．
∵OD=OE，
∴∠CEO=∠ODE=2∠C．
∵∠AOE是△OCE的外角，
∴∠AOE=∠C+∠CEO=3∠C
∴∠C=$\frac{1}{3}$∠AOE．

点评 本题考查了圆的认识，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质．