Question

如图，在等边△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上．
（1）如果AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如果AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，△DEF仍是等边三角形吗？
（3）直接写出D、E、F三点满足什么条件时，△DEF是等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边△ABC中AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等边三角形．
（2）根据等边△ABC中AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等边三角形．
（3）根据等边△ABC中AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等边三角形．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，且AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形．

（2）∵△ABC为等边三角形，且AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形．

（3）当AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF时，△DEF是等边三角形．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，且AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形．

点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键．