Question

6．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且∠BAD=∠C，直线AD上一点P到直线BC的距离为$\frac{5\sqrt{21}}{7}$，则线段AP的长为2$\sqrt{7}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 如图作CH⊥BA于H，AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，因为PN∥AM，得$\frac{PN}{AM}=\frac{PD}{AD}$，所以欲求AP需要求出AM、AD、PD，利用勾股定理以及RT△30度角的性质，求出CH、AH、再利用面积法求出AM、CM、BM，利用△BAD∽△BCA求出BD问题即可解决．

解答 解：如图作CH⊥BA于H，AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAH=180°-∠BAC=60°，
在RT△ACH中，∵AC=4，∠ACH=30°，
∴AH=2，HC=2$\sqrt{3}$，
在RT△BCH中，∵BH=4，HC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{7}$，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AM=$\frac{1}{2}$•AB•CH，
∴AM=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∵∠B=∠B，∠BAD=∠ACB，
∴△BAD∽△BCA，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴DM=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∵PN∥AM，
∴$\frac{PN}{AM}=\frac{PD}{AD}$，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{21}}{7}}{\frac{2\sqrt{21}}{7}}=\frac{PD}{\frac{4\sqrt{7}}{7}}$，
∴PD=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，∴AP=2$\sqrt{7}$，
根据对称性DP′=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，AP=DP′-AD=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
故答案为2$\sqrt{7}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是利用120°构造特殊三角形（△ACH），学会应用面积法求高，属于中考常考题型．