把两个完全相同有一个角为30°的直角三角板重合在一起.如图1放置.将△ABC固定.让△DEC绕直角顶点C旋转一定角度.设三角板的短直角边AC的长度为1个单位．解答下列问题:(1)当△DEC旋转到图2的位置时.交错连接对应顶点得到△BDC和△AEC.写出△BDC和△AEC的面积的数量关系.并证明你的结论,(2)如图3.若连接诶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．把两个完全相同有一个角为30°的直角三角板重合在一起，如图1放置，将△ABC固定，让△DEC绕直角顶点C旋转一定角度，设三角板的短直角边AC的长度为1个单位．
解答下列问题：
（1）当△DEC旋转到图2的位置时，交错连接对应顶点得到△BDC和△AEC，写出△BDC和△AEC的面积的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若连接诶对应顶点得到△ACD和△BCE，求证：S_△BCE=3S_△ACD．
（3）如图2，设旋转角为α，当0°≤α≤180°时，直接写出α为多少时，AE+BD最小，最小值是多少？

分析（1）结论：∴△BDC的面积和△AEC的面积相等．如图①中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC于N，由△ACN≌△DCM（AAS），推出AN=DM，由此即可证明．
（2）只要证明△ACD∽△BCE，得$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{CD}{EC}$）²=$\frac{1}{3}$，即可证明．
（3）当旋转角为90°时，点D在线段BC上时，AE+BD最小，最小值=2$\sqrt{3}$．

解答（1）解：结论：∴△BDC的面积和△AEC的面积相等．如图①中，
作DM⊥BC于M，AN⊥EC于N．

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

（2）证明：如图③中，

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{EC}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{CD}{EC}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴S_△BCE=3S_△ACD．

（3）当旋转角为90°时，点D在线段BC上时，AE+BD最小，最小值=2$\sqrt{3}$．