Question

4．如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．
下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S_△ABC=2S_△ABE．
其中正确的结论是①②④．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①根据SAS证明△ACD≌△ABE；
②先证明△ACN≌△ABM，得△AMN也是等腰三角形，且顶角与△ABC的顶角相等，所以△ABC∽△AMN；
③由AN=AM，可得△AMN为等腰三角形；
④根据三角形的中线将三角形面积平分得：S_△ACD=2S_△ACN，S_△ABE=2S_△ABM，则S_△ABC=2S_△ACD=2S_△ABE．

解答 解：①在△ACD和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠BAC=∠DAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
所以①正确；
②∵△ACD≌△ABE，
∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分别为BE，CD的中点，
∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACN=∠ABM}\\{CN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△ABM，
∴AN=AM，∠CAN∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=∠AMN，
∴△ABC∽△AMN，
所以②正确；
③∵AN=AM，
∴△AMN为等腰三角形，
所以③不正确；
④∵△ACN≌△ABM，
∴S_△ACN=S_△ABM，
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴S_△ACD=2S_△ACN，S_△ABE=2S_△ABM，
∴S_△ACD=S_△ABE，
∵D是AB的中点，
∴S_△ABC=2S_△ACD=2S_△ABE，
所以④正确；
本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形中线的性质、三角形相似的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定及三角形中线平分面积的性质是关键；此类选择题比较麻烦，类似四个证明题，所以要认真审题，并做出正确的判断．