Question

20．如图：△ABC中，∠A=60°，以BC为直径作半圆，交AB于D，交AC于E．求证：DE=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 连接CD，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，于是得到∠ADC=90°，由于∠A=60°，求得∠DCA=30°，根据直角三角形的性质得到AD=$\frac{1}{2}$AC，通过△ABC∽△AED，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：连接CD，∵BC为⊙的直径，
∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DCA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠B=∠DEA，
∴∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．