Question

如果关于x的函数y=ax²+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：分类讨论：当a=0时，原函数化为一次函数，而已次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax²+（a+2）x+a+1为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题，当△=（a+2）²-4a（a+1）=0时，它的图象与x轴只有一个公共点，然后解关于a的一元二次方程得到a的值，最后综合两种情况即可得到实数a的值．

解答：解：当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点；
当a≠0时，函数y=ax²+（a+2）x+a+1为二次函数，当△=（a+2）²-4a（a+1）=0时，它的图象与x轴只有一个公共点，
整理得3a²-4=0，解得a=±

2 3

3

，
综上所述，实数a的值为0或±

2 3

3

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．