Question

19．如图，已知二次函数y=-x²+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（4，0）．
（1）求二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；
（2）如果点M（p，0）是x轴上的一个动点，则当|MC-MD|取得最大值时，求p的值；
（3）如果点E（m，n）是二次函数y=-x²+bx+8的图象上的一个动点，且△ABE是钝角三角形，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b的方程可求得b的值，从而得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）当M在直线CD上时，|MC-MD|取得最大值，先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CD与x轴的交点坐标，从而得到P的值；
（3）以AB为值经作⊙F，⊙F交抛物线与点E，E′．y=0求得点A和点B的横坐标，然后可确定出圆心F的坐标，设M（x，y）⊙F上的任意一点，依据两点间的距离公式可求得⊙F的解析式，将⊙F的解析式与抛物线的解析式联立可求得点E和E′的坐标，最后依据图形可确定出△ABE为钝角三角形时m的取值范围．

解答 解：（1）将点B的坐标代入得：-16+4b+8=0，解得：b=2，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．
∵y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴D的坐标为（1，9）．
（2）∵当x=0时，y=8，
∴C（0，8）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
将点C、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{k+b=9}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=8，
∴直线CD的解析式为y=x+8．
当y=0时，x+8=0，解得：x=-8，
∴直线CD与x轴的交点坐标为（-8，0）．
∵当M在直线CD上时，|MC-MD|取得最大值，
∴点M的坐标为（-8，0）．
∴P=-8．
（3）如图所示：以AB为值经作⊙F，⊙F交抛物线与点E，E′．

令y=0得：-x²+2x+8=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
设M（x，y）⊙F上的任意一点．
由两点间的距离公式可知：MF=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=3，
∴⊙F的解析式为：（x-1）²+y²=9．
将（x-1）²+y²=9与y=-（x-1）²+9联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-1）^{2}+9}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$
解得：y=0（舍去）或y=1．
将y=1代入抛物线的解析式得：-（x-1）²+9=1，
解得：x=1+2$\sqrt{2}$，或x=1-2$\sqrt{2}$．
∴点E的坐标为（1-2$\sqrt{2}$，1），E′的坐标为（1+2$\sqrt{2}$，1）．
根据图图形可知当m＜-2或-2＜m＜1-2$\sqrt{2}$或1+2$\sqrt{2}$＜m＜4或m＞4时，△ABE为钝角三角形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间的距离公式、解二元二次方程组，明确点点M、C、D在一条直线上时，|MC-MD|取得最大值是解答问题（2）的关键，求得⊙F的解析式是解答问题（3）的关键．