Question

6．已知，如图，抛物线l₁：y=-x²+2x+3与抛物线l₂：y=x²+2x-3相交于点A，B，它们分别与y轴相交于C，D，其中点A的横坐标比点B的横坐标小．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）依次连结A，D，B，C得到四边形ADBC，求四边形ADBC的面积和∠BDC的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据两函数图象的交点问题，得到方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-{x}^{2}+2x+3\\ y={x}^{2}+2x-3\end{array}\right.$，再解方程组即可；
（2）先求出点D与点C的坐标，再根据S_{四边形ADBC}=S_△BCD+S_△ACD即可得出其面积，根据两点间的距离公式求出D的长，过点C作CE⊥BD于点E，利用三角形的面积公式求出CE的长，根据勾股定理求出DE的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：（1）∵解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-{x}^{2}+2x+3\\ y={x}^{2}+2x-3\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\ y=-2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴A（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；

（2）∵抛物线l₁：y=-x²+2x+3与抛物线l₂：y=x²+2x-3相分别与y轴相交于C，D，
∴C（0，3），D（0，-3），
∴CD=6．
∵A（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴S_{四边形ADBC}=S_△BCD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
过点B作BE⊥ED于点E，
∵B（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），D（0，-3），
∴BE=$\sqrt{3}$
∴ED=3+2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BDC=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、二次函数的交点问题及三角形的面积等知识，在解答（2）时，作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．