Question

如图，已知四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，DC=12，AB=20，tanA=

3

4

，作DH⊥AB，垂足为H，点E是线段HB上一动点，以E为圆心，EA为半径作⊙E，⊙E与线段DC相交于点F，设AE=x，DF=y，
（1）当EF∥AD时，求AE的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）将△ADF沿AF所在的直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E=1时，试求AE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何图形问题

分析：（1）首先判定四边形AEFD是菱形，进而求出AH的长，再利用锐角三角函数关系求出DH的长；
（2）首先得出点D、F在直线EM的两侧，再利用勾股定理得出MF的长，再利用DF=DM+MF求出即可；
（3）利用菱形性质得出D′必落在射线FE上，再利用当D′E=1时，有x-y=1或y-x=1，求出AE即可．

解答：解：（1）当EF∥AD时，∵DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵EA=EF，
∴四边形AEFD是菱形，
∴EA=AD，
∵在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，DC=12，AB=20，AH⊥AB，
∴AH=4，
在Rt△ADH中，tanA=

3

4

=

DH

AH

，
∴DH=3，
∴AE=AD=5；

（2）∵连接EF，作EM⊥DC，
∵E在线段HB上，且ME与线段DC仅有一个公共点，
∴点D、F在直线EM的两侧，
在Rt△EMF中，∵MF=

EF2-EM2

=

x2-9

，
DM=HE=x-4，
∴DF=DM+MF，
∴y=x-4+

x2-9

，
定义域：4≤x≤

265

32

；

（3）连接AF，
∵四边形AEFD是菱形
∴∠DFA=∠EFA
则D′必落在射线FE上，
当D′E=1时，有x-y=1或y-x=1，
当x-y=1时，
∴x-（x-4+

x2-9

）=1，
∴4-

x2-9

=1，
整理得：x²-9=9，
解得：x=AE=3

2

，
当y-x=1时，
∴x-4+

x2-9

-x=1，
∴-4+

x2-9

=1，
整理得：x²-9=25，
解得：x=AE=

34

，
综上所述：AE的长为：3

2

或

34

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和菱形的性质和判定等知识，利用分类讨论得出AE的长是解题关键．