Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交A_n、B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，求A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₁B₂₀₁₁+A₂₀₁₂B₂₀₁₂的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题,规律型

分析：当n=1时，y=x²-

3

2

+

1

2

，设y=x²-

3

2

+

1

2

的两根式a，b，则a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

1

2

=1-

1

2

，同法求出当n=2时，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，当n=3 时，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，当n=2012时，A₂₀₁₂B₂₀₁₂=

1

2013

×

1

2014

=

1

2013

-

1

2014

，相加即可求出答案．

解答：解：当n=1时，y=x²-

3

2

+

1

2

，设y=x²-

3

2

+

1

2

的两根式a，b，则
a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

1

2

=1-

1

2

．
当n=2时，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

．
当n=3 时，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

．
…
当n=2012时，A₂₀₁₂B₂₀₁₂=

1

2012

×

1

2013

=

1

2012

-

1

2013

．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

4

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

．

点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能根据所得的数据找出规律是解此题的关键．