Question

4．如图△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm；△DEF中∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）．在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）．
（1）当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？
（2）在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°？如果存在，求出AD的长度；如果
不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接EB，设BE∥AC，因为∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AB=10cm，又因为∠FDE=90°，DE=3cm，所以DB=3$\sqrt{3}$cm，故AD的长度可求；
（2）当∠EBD=22.5°时，利用三角形外角的性质求得∠BEF=22.5°，则∠EBD=∠BEF，故BF=EF=3$\sqrt{2}$，AD=BD-BF-DF=7-3$\sqrt{2}$（cm）．

解答 解：（1）AD=（10-3$\sqrt{3}$）cm时，BE∥AC．
理由如下：连接EB，
设EB∥AC，则∠EBD=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，
∴AB=10cm，
又∵∠FDE=90°，DE=3cm，
∴DB=3$\sqrt{3}$cm
∴AD=AB-BD=（10-3$\sqrt{3}$）cm，
∴AD=（10-3$\sqrt{3}$）cm时，BE∥AC；

（2）在△DEF的移动过程中，当AD=（7-3$\sqrt{3}$）cm时，使得∠EBD=22.5°．
理由如下：
假设∠EBD=22.5°．
∵在△DEF中，∠D=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，
∴EF=3$\sqrt{2}$cm，∠DEF=∠DFE=45°，DE=DF=3cm．
又∵∠DFE=∠FEB+∠FBE=45°，
∴∠EBD=∠BEF，
∴BF=EF=3$\sqrt{2}$，
∴AD=AB-BF-DF=7-3$\sqrt{2}$（cm）．
∴在△DEF的移动过程中，当AD=（7-3$\sqrt{2}$）cm时，使得∠EBD=22.5°．

点评 此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数关系以及平行线的判定等知识，注意解题的方法不惟一，可让学生采用不同方法求解，培养学生的思维能力．