Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为_____．

Answer 1

【答案】4或2

【解析】

连接BB′，根据直角三角形的判定定理得到∠BB′C＝90°，求得∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′D三点共线，设AE，BB′交于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：连接BB′，

∵BE＝B′E＝EC，

∴∠BB′C＝90°，

∴∠B′CD＜90°，

（1）如图1，∠B′DC＝90°，

则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，

∴BC＝2AB＝4，

（2）如图2，∠CB′D＝90°，

则B，B′D三点共线，

设AE，BB′交于F，

则F，B′是对角线BD的三等分点，

∵△BCB′∽△CDB′，

∴，

∴，

∴BC＝CD＝2，

故答案为：4或2．