Question

【题目】如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.

（3）是否存在质疑的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在，（m为点P的横坐标）当m=时，

【解析】

（1）把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）根据第（1）问求出的函数解析式可得出C点的坐标，根据C、P两点横坐标一样可得出P点的坐标，将△BCE的面积分成△PCE与△PCB，以PC为底，即可求出△BCE的面积.

（3）设动点P的坐标为（m，m+2），点C的坐标为（m，），表示出PC的长度，根据，构造二次函数，然后求出二次函数的最大值，并求出此时m的值即可.

解：(1)∵A()和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴

解得：，

∴抛物线的解析式；

（2）∵二次函数解析式为，

∴顶点C坐标为，

∵PC⊥x，点P在直线y=x+2上，

∴点P的坐标为，

∴PC=6；

∵点E为直线y=x+2与x轴的交点，

∴点E的坐标为

∵ =

∴.

（3）存在.

设动点P的坐标是，点C的坐标为，

∵

∴

∵,

∴函数开口向下，有最大值

∴当时，△ABC的面积有最大值为.