Question

2．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE=CF．
（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．
（2）若∠BEC=90°，∠ABE=30°，AB=$\sqrt{3}$，求ED的长．

Answer 1

分析 （1）由Rt△BAE≌Rt△CDF，推出∠1=∠F，推出BE∥CF，又BE=CF，即可证明四边形EBCF是平行四边形；
（2）Rt△BAE中，∠2=30°，AB=$\sqrt{3}$，求出AE、BE，在Rt△BEC中，求出BC，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDF=∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，
在Rt△BAE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DC\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴Rt△BAE≌Rt△CDF，
∴∠1=∠F，
∴BE∥CF，
又∵BE=CF，
∴四边形EBCF是平行四边形．

（2）解：∵Rt△BAE中，∠2=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴AE=AB•tan∠2=1，$BE=\frac{AB}{cos∠2}=2$，∠3=60°，
在Rt△BEC中，$BC=\frac{BE}{cos∠3}=\frac{2}{cos60°}=4$，
∴AD=BC=4，
∴ED=AD-AE=4-1=3．

点评 本题考查矩形的性质、平行四边形的判定．解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．