Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=-x2+2x+3的顶点为A，与x轴交B、C于两点．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）在坐标平面内存在点D，使以点A、B、C、D顶点为四边形是平行四边形，求过A、C、D的抛物线C₂的表达式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线的解析式中的y=0可求出B，C点的坐标，把抛物线的解析式配方可求出A的坐标；
（2）设过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=ax²+bx+c，在分类讨论：当AC为对角线时、AB为对角线时、C为对角线时，分别求出D的坐标，把A，C，D点的坐标代入求出其解析式即可．

解答：解：（1）设y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x=-或3，
∴C的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点为A的坐标为（1，4）；
（2）设过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=ax²+bx+c，
①当AC为其中的一条对角线时，此时D在第一项象限，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴D的坐标为（4，4），
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 4=16a+4b+c

，
解得：

a=- 6 15 b=2 c= 36 15

，
∴y=-

6

15

x²+2x+

36

15

；
②当AB为其中的一条对角线时，此时D在第二项象限，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD′=BC，AD′∥BC，
∴D′的坐标为（-3，4），
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 4=9a-3b+c

，
解得：

a=1 b=2 c=1

，
∴y=x²+2x+1；
③当BC为其中的一条对角线时，此时D在第四项象限，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BD″=AC，BD″∥AC，
∵B（3，0），C（-1，0），
∴BC的中等坐标为（

3-1

2

，0），即（1，0）
∴BC，AD″互相平分，
∴D″的坐标为（1，-4），
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 0=9a+3b+c

，
此时不存在a，b，c的值，
∴过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=-

6

15

x²+2x+

36

15

或y=x²+2x+1．

点评：本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质以及分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全，需要很好的计算能力．