Question

13．如图，AB是半圆O直径，点C是⊙O上一点，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，使∠OEB=∠ABC．
（1）求证：BE是⊙O切线；
（2）若OA=2，OE=4，求弧BC长．

Answer 1

分析 （1）首先由AB是半圆O的直径可以得到∠ACB=90°，由OD∥AC利用平行线的性质可以得到∠EDB=90°，而∠OEB=∠ABC，由此可以证明∠ABC+∠DBE=90°，最后利用切线的判定即可证明题目的结论；
（2）首先解直角三角形求得∠EOB=60°，进而求得∠BOC=120°，然后根据弧长公式即可求解．

解答 （1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AC，
∴∠EDB=90°，
∴∠OEB+∠DBE=90°，
而∠OEB=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，
∵OB为半径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：在RT△OBE中，cos∠EOB=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{OA}{OE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EOB=60°，
连接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠COE=∠EOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC长=$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 此题主要考查了圆的切线的性质与判定，垂径定理的应用，解直角三角形和弧长的计算等，属于基础题，关键是掌握各知识点的内容．