Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求菱形AFCE的边长．

Answer 1

分析 （1）根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可；
（2）根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
设AF=xcm，则CF=xcm，BF=（8-x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
即AF=5cm．

点评 此题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．