Question

6．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求AB的长；          
（2）求直线CD的函数关系式；
（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D方向运动，过P作x轴的垂线交折线BC-CD于点E，设运动时间为t，△PBE的面积为S，试求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解方程x²-7x+12=0即可得出OA、OB的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理即可求出AB的长；
（2）由OA、OB可得出点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的函数关系式，再根据平行四边形的性质即可得出直线CD的函数关系式；
（3）按点P、E的位置不同分三种情况考虑．用含t的代数式表示出点P、E点的坐标，根据三角形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式．

解答 解：（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=（x-3）（x-4）=0的两个根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
（2）∵OA=4，OB=3，点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴，
∴A（0，4），B（-3，0），
设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$x+4．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵AD=6，BC在x轴上，
∴直线CD的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$（x-6）+4=$\frac{4}{3}$x-4．
（3）根据点P、E的位置不同，分三种情况考虑．

①当点P在线段AB上（包括端点），即0≤t≤5时（如图1），
∵P（$\frac{3}{5}$t-3，$\frac{4}{5}$t），E（$\frac{3}{5}$t-3，0），
∴BE=$\frac{3}{5}$t-3-（-3）=$\frac{3}{5}$t，PE=$\frac{4}{5}$t-0=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•PE=$\frac{6}{25}{t}^{2}$；
②当点P在线段AD上，点E在线段BC上（包括点C），即5＜t≤8时（如图2），
∵P（t-5，4），E（t-5，0），
∴BE=t-5-（-3）=t-2，PE=4，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•PE=2t-4；
③当点P在线段AD上，点E在线段CD上（包括点D），即8＜t≤11时（如图3），
∵P（t-5，4），E（t-5，$\frac{4}{3}$（t-8）），
∴PE=$\frac{4}{3}$（11-t），
∴S=$\frac{1}{2}$PE•（x_P-x_B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$（11-t）（t-2）=-$\frac{2}{3}{t}^{2}$+$\frac{26}{3}$t-$\frac{44}{3}$．
综上可知：S关于t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{25}{t}^{2}（0≤t≤5）}\\{2t-4（5＜t≤8）}\\{-\frac{2}{3}{t}^{2}+\frac{26}{3}t-\frac{44}{3}（8＜t≤11）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、待定系数法求函数解析式、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用分解因式法解一元二次方程求出OA、OB的长；（2）利用待定系数法求出直线AB的函数关系式；（3）分点P、E的位置不同来考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的位置不同分类讨论是关键．