题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（16，8）、（0，8），线段CD在x轴上，CD=6，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．（1）求线段CE的长；
（2）记△CDE与△ABO公共部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）连接DF．当t取何值时，以C、F、D为顶点的三角形为等腰三角形？
考点：相似形综合题,坐标与图形性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可得出•
=
，故可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；
（3）由（2）知CF=2t，当CF=CD时，则t=3；当CF=DF时，由FH⊥CD，FH∥DE，可得出CF：CE=FH：DE，由此可得出t的值；当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=
CF=t，根据△CKD∽△CDE可得出t的值；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可得出•
| HD |
| CD |
| EF |
| CE |
（3）由（2）知CF=2t，当CF=CD时，则t=3；当CF=DF时，由FH⊥CD，FH∥DE，可得出CF：CE=FH：DE，由此可得出t的值；当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=6，DE=8，
∴CE=
=
=10；
（2）如答图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=2t，
∴BE=OD=OC+CD=2t+6，
∴AE=AB-BE=16-（2t+6）=10-2t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴
=
=
=
…①，
=
=
=
…②，
又∵CF+EF=10，DG+EG=8…③，
结合①②③，可得：CF=2t，EG=5-t，EF=10-2t，
∵FH∥ED，
∴
=
，
即HD=
•CD=
（5-t），
∴S=
EG•HD=
×（5-t）×
（5-t）=
t2-6T+15，
∵BE＜AB，
即：2t+6＜16，
∴t的取值范围为：0≤t≤5；
（3）由（2）知CF=2t，
（i）当CF=CD时，则t=3；
（ii）如答图2，当CF=DF时，
∵FH⊥CD，
∴CH=
CD，
又∵FH∥DE，
∴
=
，
∴CF=
CE=5
即t=
；
（iii）如答图3，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
则CK=
CF=t，
易得△CKD∽△CDE，
即：
=
即：
=
解得：t=
；
综上，当t=3或
或
时，△CDF为等腰三角形；
∴CE=
| CD2+DE2 |
| 62+82 |
（2）如答图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=2t，
∴BE=OD=OC+CD=2t+6，
∴AE=AB-BE=16-（2t+6）=10-2t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴
| CF |
| EF |
| OC |
| AE |
| 2t |
| 10-2t |
| t |
| 5-t |
| DG |
| EG |
| OD |
| AE |
| 2t+6 |
| 10-2t |
| t+3 |
| 5-t |
又∵CF+EF=10，DG+EG=8…③，
结合①②③，可得：CF=2t，EG=5-t，EF=10-2t，
∵FH∥ED，
∴
| HD |
| CD |
| EF |
| CE |
即HD=
| EF |
| CE |
| 6 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∵BE＜AB，
即：2t+6＜16，
∴t的取值范围为：0≤t≤5；
（3）由（2）知CF=2t，
（i）当CF=CD时，则t=3；
（ii）如答图2，当CF=DF时，
∵FH⊥CD，
∴CH=
| 1 |
| 2 |
又∵FH∥DE，
∴
| CF |
| CE |
| FH |
| DE |
∴CF=
| 1 |
| 2 |
即t=
| 5 |
| 2 |
（iii）如答图3，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
则CK=
| 1 |
| 2 |
易得△CKD∽△CDE，
即：
| CK |
| CD |
| CD |
| CE |
即：
| t |
| 6 |
| 6 |
| 10 |
解得：t=
| 18 |
| 5 |
综上，当t=3或
| 5 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，涉及面较广，难度较大．
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