Question

5．正方形ABCD，∠DEA=15°．ED=EC，求证：△DEC为等边三角形．

Answer 1

分析 利用反证法证明，①假设DE=EC＞CD，推出矛盾；②假设DE=EC＜DC，推出矛盾即可．

解答 证明：如图，设∠EDC=∠ECD=α，则∠DEC=180°-2α
假设DE=EC＞CD，
则有α＞180-2α，
∴α＞60°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE＞150°，∵∠2=15°，
∴∠1＜15°，
∴∠1＜∠2，
∴DE＜AD，即DE＜CD与假设矛盾，
∴假设不成立．
假设DE=EC＜DC，
则有α＜180°-2α，
∴α＜60°，
∴∠ADE＜150°，∵∠2=15°，
∴∠1＞15°，
∴∠1＞∠2，
∴DE＞AD即DE＞CD，与假设矛盾，
∴假设不成立，
∴DE=EC=DC，
∴△DEC是等边三角形．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的判定、反证法等知识，解题的关键是掌握反证法的步骤，属于中考常考题型．