Question

5．已知点A在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，点A、B关于原点O对称．
（1）求证：点B在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上；
（2）若点C满足AC⊥x轴，BC⊥y轴，求证：△ABC的面积是定值．

Answer 1

分析 （1）设A（m，n），则mn=1，由于点A、B关于原点O对称，所以B（-m，-n），因为（-m）（-n）=1，可判定点B在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上；
（2）用m，n表示出AC、BC即可求出△ABC的面积．

解答 证明：（1）设A（m，n），则mn=1，
∵点A、B关于原点O对称，
∴B（-m，-n），
∵（-m）（-n）=1
∴点B在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上；

（2）由题意知C（m，-n），
则BC=2|m|，AC=2|n|，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}BC•AC$=2|mn|=2mn=2，
∴△ABC的面积是定值．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，熟记反比例函数的性质是解题的关键．