Question

【题目】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是直径，AC＝2DH，过点 D 作 DH 垂直BC 于点 H，以下结论中：①BH＝HD；②∠BAO＝∠BOD；③；④连接 AO、BD，若 BC＝8，sin∠HDO＝ ，则四边形 ABDO 的面积为， 其中正确的结论是 ____（请填写序号）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

作 OE⊥AC 于 E．首先证明 Rt△DOH≌Rt△AOE≌Rt△COE，利用全等三角形的性质，解直角三角形等知识一一判断即可.

作 OE⊥AC 于 E．

∵OE⊥AC，

∴AE＝EC，

∵AC＝2DH，

∴DH＝AE＝CE，

∵OD＝OA＝OC，

∴Rt△DOH≌Rt△AOE≌Rt△COE，

∴∠ODH＝∠OAC，OH＝OE，

∵BC 是直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BAO+∠OAE＝90°，∵∠BOD+∠ODH＝90°，

∴∠BAO＝∠BOD，故②正确，

假设①成立，则点 H 与 O 重合，显然不符合题意，故①错误；

∵AE＝EC，BO＝OC，

∴AB＝2OE＝2OH，

∴，故③正确，

∵BC＝8，sin∠ODH＝ ，

∴OH＝OE＝1，

∴AE＝EC＝DH＝ ，

∴S△AOB＝2S△AOE＝2×××1＝，

∵S△BOD＝ ×4× ＝2 ，

∴S 四边形 ABDO＝S△ABO+S△OBD＝+2 ＝3．故④错误， 故答案为②③．