Question

5．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=8，E是AD上一动点，把△ABC沿BE折叠，当点A的对应点A′落在矩形ABCD的对称轴上时，则AE的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=4，由勾股定理得到A′N=3，求得A′M=2，再由勾股定理解得A′E即可；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，由三角函数求出AE=A′E=A′B×tan30°；即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=4，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=5，
∴A′N=$\sqrt{A′{B}^{2}-B{N}^{2}}$=3，
∴A′M=2，
∴A′E²=EM²+A′M²，
∴A′E²=（4-A′E）²+2²，
解得：A′E=$\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，∴AE=A′E=A′B×tan30°=5×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
综上所述：AE的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，勾股定理，正确理解折叠的性质是解题的关键．