Question

10．已知x≠1，计算
（1-x）（1+x）=1-x²，
（1-x）（1+x+x²）=1-x³，
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）观察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹（n为正整数）；
（2）根据你的猜想计算：
（1-2）（1+2+2²+2³+…+2⁹⁹）=1-2¹⁰⁰；
2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=x¹⁰⁰-1．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）①根据得出的规律计算即可得到结果；
②原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①原式=1-2¹⁰⁰；
②原式=2（1+2+2²+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③原式=-（1-x）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-1+x¹⁰⁰．
故答案为：（1）1-xⁿ⁺¹
（2）1-2¹⁰⁰
 2ⁿ⁺¹-2
x¹⁰⁰-1

点评 此题考查了整式混合运算的应用，找出其中的规律是解本题的关键．