Question

如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC至E，使CE=AD．
（1）请说明线段BD与DE的数量关系，并予以证明；
（2）若将“D是AC的中点”改为“D是AC上任意一点”，其他条件不变，BD与DE的数量关系如何？请画图证明．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠CBD=30°，∠ACB=60°，根据CD=CE可得∠CDE=∠CED，根据∠CDE+∠CED=∠ACB即可解题；
（2）过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，根据等边三角形的性质得到∠A=∠ACB=60°，AB=AC，则∠F=60°，∠ECF=60°，得到△CEF为等边三角形，于是EF=CE=CF，易得AD=EF，AC=DF=AB，根据三角形全等的判定可得到△ABD≌△FDE，即可得到结论．

解答：解：（1）∵在等边△ABC中，D是AC的中点，
∴BD为∠ABC的角平分线，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB，
∴∠CDE=∠CED=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠CED=30°，
∴BD=DE；
（2）BD=DE，
证明：过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，

AB=FD ∠A=∠F AD=FE

，
∴△ABD≌△FDE（SAS），
∴DB=DE；

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质：有两个内角为60°的三角形为等边三角形；等边三角形的三个内角都等于60°，三边都相等．也考查了三角形全等的判定与性质．