Question

6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，连结AB交OP于C，给出下列结论：
①图中有3对全等三角形
②∠CAP=∠COB
③∠OPA=∠OPB
④AB垂直平分OP
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 依据觉平分线的性质可得到AP=PB，然后依据HL可证明△AOP≌△BOP，则OA=OB，然后依据SAS可证明△AOC≌△BOC，则∠OCA=∠OCB=90°，依据HL可证明Rt△APC≌Rt△BPC，依据同角的余角相等可证明∠CAP=∠COB，依据全等三角形的性质可证明∠OPA=∠OPB．

解答 解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，
∴PA=PB．
在Rt△PAO和Rt△PBO中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO．
∴OA=OB，∠OPA=∠OPB，故③正确．
在△AOC和△BOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOC．
∴AC=BC，∠OCA=∠OCB=90°．
∴OP是AB的垂直平分线，故④错误．
在Rt△PAC和Rt△PBC中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=CP}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC，故①正确．
∵∠AOP+∠APO=90°，∠PAC+∠APC=90°，
∴∠CAP=∠COB，故②正确．
故选：C．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．