Question

17．如图，直线y=-2x，y=-$\frac{1}{2}$x交双曲线y=$\frac{k}{x}$于A，B两点（x＜0）且S_△OAB=4，求k．

Answer 1

分析 认真审题，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，过点A作AC⊥x轴，用四边形ABDO的面积减去三角形BOD的面积，即为三角形OAB的面积，进而得解．

解答 解：如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，过点A作AC⊥x轴，

∴BD∥AC，
设A（m，$\frac{k}{m}$），B（n，$\frac{k}{n}$），
则：BD=$\frac{k}{n}$，AC=$\frac{k}{m}$，CD=m-n，
梯形ABDC的面积为：$\frac{1}{2}$×（m-n）×（$\frac{k}{m}+\frac{k}{n}$），S_△AOC=$\frac{|k|}{2}$，${S}_{△BOD}=\frac{|k|}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×（m-n）×（$\frac{k}{m}+\frac{k}{n}$）+$\frac{|k|}{2}$-$\frac{|k|}{2}$=4，
即：$\frac{（{m}^{2}-{n}^{2}）k}{mn}$=8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$可知m²=$-\frac{k}{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$可知n²=-2k，
∴m²n²=k²，∴mn=-k，
∴$\frac{（-\frac{k}{2}+2k）k}{-k}$=8，
解得：k=$-\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点的问题，利用含有k的代数式表示出△AOB的面积是解题的关键，注意运算过程的简化，认真总结．