Question

8．如图，已知点A（m-5，m）和点B（m-2，m-4.5）是一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象的两个交点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象直接写出：当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？
（3）若点K是线段AB上的一点，连接KC，KD，当S_△KCA=2S_△KDB时，求点K的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数系数k=m（m-5）=（m-2）（m-4.5），求得m的值，得出A、B的坐标，再由待定系数法求得函数的解析式．
（2）由图象写出一次函数图象在反比例函数图象下面时x的取值范围．
（3）通过题意列出方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵点A（m-5，m）和点B（m-2，m-4.5）都在y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象上，
∴m（m-5）=（m-2）（m-4.5），
解得，m=6，
∴A（1，6）和点B（4，1.5），
∴k=1×6=6，
把A（1，6）和B（4，1.5）代入y=ax+b得，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=6}\\{4a+b=1.5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1.5}\\{b=7.5}\end{array}\right.$．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$，一次函数的解析式为y=-1.5x+7.5．

（2）x的取值范围是：1＜x＜4．

（3）设K（x，-1.5x+7.5），
∵S_△KCA=2S_△KDB，
∴$\frac{1}{2}$×1（6+1.5x-7.5）=2×$\frac{1}{2}$×1.5×（4-x），
整理得4.5x=13.5，
解得x=3．
∴K（3，3）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式，重点是先求解出反比例函数及一次函数的解析式．